Quantitative Probleme beim HSG-Test: Gleichgewicht und Bilanz verstehen (Zufluss gleich Abfluss)
Du liest eine Aufgabe über eine Infusion. Im Text stehen Milliliter, Gramm, Prozentangaben und Litermengen. Du rechnest ein wenig mit diesen Zahlen, kommst auf einen Wert, und genau der steht tatsächlich bei den Antworten. Haken drunter, weiter. Und falsch.
Das sehen wir in den Seminaren oft, und es liegt selten am Rechnen. Du hast nicht gemerkt, welche Art von Aufgabe vor dir liegt. Bei den Quantitativen Problemen im HSG-Test steckt hinter vielen Texten dieselbe Grundidee: Etwas fließt hinein, etwas fließt hinaus, und irgendwann pendelt sich ein Bestand ein.
Was „Bilanz“ in einer Aufgabe bedeutet
Stell dir ein Becken vor. Oben läuft Wasser hinein, unten läuft Wasser hinaus. Mehr musst du nicht wissen. Der Wasserstand im Becken ist der Bestand, und er hängt nur an einer Frage: Kommt gerade mehr hinein, als hinausgeht, ist es genauso viel oder ist es weniger?
Jede Bilanzaufgabe lässt sich einem von drei Fällen zuordnen; beim Gleichgewicht ist die Änderung gleich null.
Ist der Zufluss größer, steigt der Bestand. Ist der Abfluss größer, sinkt er. Und sind beide gleich groß, bleibt er stehen. Das ist das Gleichgewicht. Es läuft weiter ständig etwas hinein und hinaus, nur die Differenz ist null.
Ein Beispiel ohne Medizin: Auf dein Konto kommen jeden Monat 500 €, und du gibst 20 % des Kontostands aus. Im vereinfachten Monatsmodell beziehen sich die Ausgaben auf den betrachteten Kontostand. Bei 2500 € entsprechen die 20 % genau dem Zufluss von 500 €: Der Bestand bleibt gleich. Liegt er darüber, sinkt er; liegt er darunter, steigt er.
Woran du solche Aufgaben im Text erkennst
Achte auf diese Formulierungen:
„stellt sich ein Gleichgewicht ein“ oder „bleibt konstant“
„pro Stunde wird genauso viel abgebaut, wie zugeführt wird“
ein Abfluss, der in Prozent der aktuell vorhandenen Menge angegeben ist
Der letzte Punkt ist der entscheidende. Der Abfluss ist hier keine feste Zahl, sondern hängt vom Bestand ab. Je mehr da ist, desto mehr geht pro Stunde weg. Genau deshalb gibt es einen Punkt, an dem beides gleichzieht.
Die typische Fehlerfalle
Die meisten verknüpfen die Zahlen, statt sie gleichzusetzen. Nimm einen Zufluss von 10 je Stunde und einen Abfluss von 20 % des Bestands. Viele rechnen 10 · 0,2 = 2 und sind zufrieden. Aber 20 % von 2 sind 0,4, das passt nicht zu den 10, die hineinlaufen.
Richtig ist: 10 = 0,2 · Bestand. Also Bestand = 10 : 0,2 = 50. Probe: 20 % von 50 sind 10. Stimmt.
Nicht Zahlen verknüpfen, sondern Zufluss und Abfluss gleichsetzen und nach dem Bestand auflösen.
Merk dir dafür eine Zeile: Bestand = Zufluss pro Zeit : Abbauanteil pro Zeit. Der Anteil steht also beim Bestand und wandert beim Auflösen auf die andere Seite.
Die Übungsaufgabe: Infusion im Gleichgewicht
Diese eigene Trainingsaufgabe von Zulassungscoach verwendet ein fiktives mathematisches Tagesmittel-Modell. Die angegebenen Regeln definieren das Rechenmodell; es geht um das Aufstellen einer Bilanz.
Vorweg ehrlich: Das ist eine bewusst schwere Trainingsaufgabe. Du darfst dir rund 5 Minuten nehmen, um die Kette der Schritte in Ruhe zu durchdenken. In unserem Übungsformat mit 16 Aufgaben in 35 Minuten pro Bereich bleiben dir im Schnitt gut zwei Minuten pro Aufgabe.
Die Skizze zeigt nur, wo was hineinläuft; der Text bleibt maßgeblich.
Skizze zur Aufgabe: Zufuhr mit Pause, Aufnahme und zwei Abbauwege, gesucht ist die mittlere Menge pro Liter Körperflüssigkeit.
Ein Infusionsbeutel enthält 600 ml Lösung, in der insgesamt 1,8 g Wirkstoff gleichmäßig gelöst sind (1 g = 1000 mg). Ein Automat gibt jeden Tag 18 Stunden lang gleichmäßig 40 ml der Lösung pro Stunde ab und pausiert danach 6 Stunden; ist ein Beutel leer, wird er sofort durch einen gleichen ersetzt.
Der Körper nimmt vom abgegebenen Wirkstoff nur 80 % auf, die übrigen 20 % scheiden sich sofort wieder aus und zählen nie zur Wirkstoffmenge im Körper. Von der Menge, die gerade im Körper ist, baut pro Stunde die Leber 20 % ab und zusätzlich scheidet die Niere 10 % aus (beide Anteile beziehen sich auf die aktuelle Menge im Körper), und zwar rund um die Uhr, auch in der Pause.
Der aufgenommene Wirkstoff verteilt sich gleichmäßig auf 16 Liter Körperflüssigkeit. Nach einiger Zeit verläuft jeder Tag genau wie der vorige. Betrachte dann die mittlere Wirkstoffmenge im Körper über 24 Stunden: Pro Tag wird genau so viel Wirkstoff abgebaut, wie aufgenommen wird, und der stündliche Abbau bezieht sich auf diese mittlere Menge. Wie viel mg Wirkstoff befinden sich im Tagesmittel in jedem Liter Körperflüssigkeit?
A) 15 mg pro Liter
B) 18,75 mg pro Liter
C) 20 mg pro Liter
D) 22,5 mg pro Liter
Erst selbst lösen. Der Taschenrechner ist beim echten Test erlaubt, hier brauchst du ihn nur für wenige Schritte.
Die Lösung in sechs Schritten
① Konzentration. Erst Gramm in Milligramm: 1,8 g sind 1800 mg. Verteilt auf 600 ml sind das 1800 : 600 = 3 mg pro ml.
② Aufnahme pro Stunde. Läuft der Automat, gibt er 40 · 3 = 120 mg pro Stunde ab. Nur 80 % davon erreichen den Körper: 0,8 · 120 = 96 mg pro Stunde.
③ Zufluss pro Tag. Der Automat läuft 18 Stunden, in der Pause kommt nichts an: 18 · 96 = 1728 mg pro Tag.
④ Abbau pro Tag. Leber und Niere arbeiten am selben Bestand, also addieren sich die Anteile: 20 % + 10 % = 30 %, das sind 0,30 pro Stunde. Das gilt rund um die Uhr, also 24 Stunden: 0,30 pro Stunde · 24 Stunden · M = 7,2 · M. So viel wird pro Tag abgebaut.
M ist dabei die mittlere Menge im Körper: Wegen der Pause schwankt der Bestand im Lauf des Tages, aber jeder Tag läuft gleich ab, und über den ganzen Tag gerechnet ist die Bilanz ausgeglichen.
⑤ Gleichgewicht. Zufluss gleich Abbau: 1728 = 7,2 · M. Aufgelöst heißt das M = 1728 : 7,2 = 240 mg.
⑥ Pro Liter. Gefragt ist die Menge je Liter: 240 mg : 16 l = 15 mg pro Liter. Antwort A.
Probe: 7,2 · 240 mg sind 1728 mg pro Tag. Genau das wird aufgenommen. Die Bilanz geht auf.
Sechs Schritte bis zur Antwort: Erst den Zufluss pro Tag bestimmen, dann mit dem Abbau pro Tag gleichsetzen, dann auf den Liter umrechnen.
Warum die anderen Antworten falsch sind
B (18,75 mg pro Liter): Hier wurde der Schritt „nur 80 % werden aufgenommen“ übersehen (120 · 18 : 7,2 : 16). Die Bedingung steht aber im Text.
C (20 mg pro Liter): Das ist 96 : 0,30 : 16. Gerechnet wurde, als liefe der Automat rund um die Uhr; die 6 Stunden Pause fehlen.
D (22,5 mg pro Liter): Hier wurde nur mit 20 % Abbau gerechnet (1728 : (0,20 · 24) : 16). Die Niere wurde vergessen, der Abbauanteil ist zu klein und das Ergebnis zu groß.
Beachte: Jede Fehlantwort entsteht aus genau einem übersehenen oder vertauschten Schritt.
Strategie für den Test
Wenn du nicht weiterkommst, schließe zunächst unpassende Antworten aus. Beachte für deine endgültige Antwortentscheidung die Bewertungshinweise des Tests. Der Test dauert insgesamt rund 70 Minuten und besteht aus zwei Bereichen, den Quantitativen Problemen sowie Diagrammen und Tabellen. Bei uns in den Übungen sind es 16 Aufgaben in 35 Minuten pro Bereich, damit du das Tempo kennenlernst.
Drei Gewohnheiten helfen dir bei Bilanzaufgaben:
Alle Angaben abhaken. Jede Zahl im Text hat einen Zweck. Markier beim Lesen, wofür du sie brauchst: Beutel, Abgabe, Pause, Aufnahme, Leber, Niere, Liter. Bleibt eine Zahl übrig, fehlt dir ein Schritt, und genau dort lauert eine Fehlantwort.
Grobtest mit der Pause. Weil der Automat nur 18 von 24 Stunden läuft, muss das Ergebnis kleiner sein, als wenn er durchgehend liefe. Dauerbetrieb ergäbe 20 mg pro Liter. Antwort C mit 20 und D mit 22,5 fallen damit raus.
Probe machen. Setz dein Ergebnis in die Aufgabe ein: 7,2 · 240 mg sind 1728 mg. Das dauert Sekunden und fängt die Fehler auf, die sonst Punkte kosten.
Häufige Fragen
Muss ich für Quantitative Probleme Formeln auswendig lernen?
Nein. Jede Beziehung, die du brauchst, steht im Aufgabentext, oder sie ist Schulmathematik wie Dreisatz, Prozent, Potenzen, Brüche und Alltagseinheiten.
Darf ich beim HSG-Test einen Taschenrechner benutzen?
Ja, ein einfacher Taschenrechner ist erlaubt. Rechne einfache Schritte trotzdem im Kopf: Bei 1728 : 7,2 hilft die Überlegung „1728 : 72 = 24, und das mal 10“.
Soll ich raten, wenn ich nicht weiterkomme?
Schließe zunächst aus, was nicht passt. Orientiere deine Entscheidung zwischen Raten und Freilassen an den Bewertungshinweisen des Tests.
Woran erkenne ich, ob es um ein Gleichgewicht geht?
Achte auf Wörter wie „konstant“, „stellt sich ein“ oder „genauso viel wie“. Sobald Zufluss und Abfluss gleich groß sein sollen, setzt du sie gleich und löst nach dem gesuchten Bestand auf.
So übst du weiter
Eine Aufgabe macht noch kein Muster. Mit der HSG-Vorbereitung von Zulassungscoach trainierst du genau das: Im Arbeitsheft zur HSG-Vorbereitung findest du Aufgaben mit ausführlichen Lösungswegen, im HSG-Seminar von Zulassungscoach rechnen wir die Denkfehler gemeinsam durch, und in den Online-Simulationen für den HSG-Test übst du unter Testbedingungen.
Fang mit der Infusion an. Löse sie noch einmal ohne Lösung daneben, und dann such dir ein eigenes Becken.
Gezielt für den HSG-Test vorbereiten
In unseren HSG-Vorbereitungsseminaren verbinden wir Aufgabentraining, Bearbeitungstechniken und Testsimulationen. Wir besprechen Lösungswege und Fragen, damit du perfekt für deinen HSG Aufnahmetest vorbereit bist.
