HSG-Test üben: Eigene Aufgaben mit nachvollziehbaren Lösungen
Fünf Aufgaben, fünf verschiedene Zugriffe: Hier übst du, ein Intervall zu prüfen, Daten nach zwei Kriterien zu ordnen, ein Modell anzuwenden und Informationen gezielt auszuwählen.
Gutes Training für den HSG-Test sollte dich nicht immer wieder dieselbe Rechenvorlage einsetzen lassen. Du brauchst auch Aufgaben, bei denen du zunächst entscheiden musst, wie die Angaben zusammenhängen. Genau dafür haben wir die fünf Übungen in diesem Beitrag entwickelt. Jede Aufgabe hat eine vollständige Lösung und einen klar benennbaren Denkschritt.
Es sind eigene Trainingsaufgaben von Zulassungscoach, keine veröffentlichten oder rekonstruierten Originalaufgaben der HSG. Die Mischung ist eine didaktische Auswahl und bildet weder eine offizielle Aufgabenverteilung noch eine offizielle Schwierigkeitsstufe ab. Aus deinem Ergebnis in diesen fünf Aufgaben lässt sich deshalb auch keine Zulassungswahrscheinlichkeit berechnen.
Bearbeite zunächst die jeweilige Frage, bevor du die Lösung aufklappst. Notiere neben deinem Ergebnis den entscheidenden Ansatz. Wenn du später auswertest, ist diese Notiz oft aussagekräftiger als die reine Zahl richtiger Antworten.
Aufgabe 1: Welche Route kann die sparsamste sein?
Für drei Routen eines Elektrofahrzeugs gelten die folgenden möglichen Energieverbrauchsbereiche. Alle Werte innerhalb der Bereiche sind unabhängig voneinander möglich. Ein niedrigerer Verbrauch ist günstiger. Die Bereiche sind vollständige Modellannahmen dieser Übung; es sind keine statistischen Konfidenzintervalle.
Textalternative zum Diagramm: mögliche Energieverbräuche | ||
Route | Minimum | Maximum |
A | 12 kWh | 16 kWh |
B | 15 kWh | 19 kWh |
C | 20 kWh | 24 kWh |
Frage: Welche Routen können unter mindestens einer zulässigen Kombination der drei Verbrauchswerte den allein niedrigsten Verbrauch haben?
Lösung und Begründung zu Aufgabe 1
Genau A und B können allein am sparsamsten sein. A liegt beispielsweise mit 12 kWh unter B mit 15 kWh und C mit 20 kWh. Um die Möglichkeit für B nachzuweisen, wähle A = 16 kWh, B = 15 kWh und C = 20 kWh. Alle Werte liegen in ihren erlaubten Bereichen; B ist dann allein am niedrigsten.
C kommt nicht infrage. Selbst sein Minimum von 20 kWh ist größer als die Maxima von A und B. C verbraucht daher in jeder zulässigen Kombination mehr als beide anderen Routen.
Die zentrale Unterscheidung lautet „kann“ gegenüber „muss“. Dass A das niedrigere Minimum hat, macht A nicht in jeder Kombination zum Gewinner. Um eine Möglichkeit zu belegen, genügt eine passende Kombination. Um C auszuschließen, brauchen wir dagegen eine Grenze, die alle zulässigen Kombinationen abdeckt.
Aufgabe 2: Welche Akkus bleiben im Vergleich übrig?
Vier tragbare Akkus sollen nach Masse und gespeicherter Energie verglichen werden. Eine geringere Masse und eine höhere gespeicherte Energie sind jeweils günstiger. Es gibt in dieser Aufgabe keine Gewichtung der beiden Kriterien und keine weiteren Auswahlregeln.
Daten der vier Akkus | ||
Akku | Masse | Gespeicherte Energie |
P | 1,8 kg | 240 Wh |
Q | 2,0 kg | 220 Wh |
R | 1,6 kg | 210 Wh |
S | 1,8 kg | 230 Wh |
Frage: Ein Akku scheidet aus, sobald ein anderer höchstens gleich schwer ist, mindestens gleich viel Energie speichert und bei mindestens einem Kriterium besser ist. Welche Akkus bleiben übrig?
Lösung und Begründung zu Aufgabe 2
P und R bleiben übrig. P verdrängt Q, weil P leichter ist und mehr Energie speichert. P verdrängt auch S: Beide sind gleich schwer, P speichert aber mehr Energie. Damit erfüllen Q und S jeweils die angegebene Ausschlussregel.
R ist leichter als P, speichert jedoch weniger Energie. P kann R deshalb nicht verdrängen. Umgekehrt ist P energiereicher, aber schwerer; R verdrängt P also ebenfalls nicht. Keiner der übrigen Akkus erfüllt gegenüber P oder R beide erforderlichen Bedingungen.
Eine Kennzahl wie Wattstunden je Kilogramm wäre für eine andere Auswahlregel sinnvoll. Hier würde sie die vorgegebene Entscheidung verändern. Der Auftrag verlangt ausdrücklich den Vergleich beider Kriterien, ohne einen Nachteil durch einen Vorteil rechnerisch auszugleichen.
Aufgabe 3: Ein gegebenes physikalisches Modell anwenden
In einem ideal isolierten Behälter werden 2 kg Wasser mit 20 °C und 1 kg Wasser mit 80 °C gemischt. Es gibt keine Wärmeabgabe an die Umgebung. Der Behälter und Verdunstung werden vernachlässigt. Für beide Wassermengen gilt dieselbe konstante spezifische Wärmekapazität c.
Du erhältst alle benötigten Modellregeln: Die übertragene Wärme ist E = m × c × ΔT. Dabei ist m die Masse und ΔT die Temperaturänderung. Außerdem gilt: Die abgegebene Wärme der heißen Wassermenge entspricht der aufgenommenen Wärme der kalten Wassermenge.
Frage: Welche gemeinsame Endtemperatur ergibt dieses Modell?
Lösung und Begründung zu Aufgabe 3
Bezeichne die gesuchte Temperatur mit T. Die kalte Wassermenge erwärmt sich um T − 20 Grad. Sie nimmt deshalb 2 × c × (T − 20) an Wärme auf. Die heiße Wassermenge kühlt um 80 − T Grad ab und gibt 1 × c × (80 − T) ab.
Gleichsetzen ergibt 2c(T − 20) = c(80 − T). Da c auf beiden Seiten derselbe positive Wert ist, können wir kürzen: 2T − 40 = 80 − T. Somit gilt 3T = 120 und T = 40 °C.
Zur Kontrolle: Die kalte Menge nimmt nach dem Kürzen von c den Wert 2 × 20 = 40 auf. Die heiße gibt 1 × 40 = 40 ab. Die Endtemperatur liegt zwischen beiden Anfangstemperaturen und näher an der Temperatur der größeren Wassermenge. Das passt zur Modellannahme. Der einfache Mittelwert der beiden Anfangstemperaturen würde die ungleichen Massen ignorieren.
Aufgabe 4: Eine Zahl aus zwei Bedingungen rekonstruieren
Eine zweistellige natürliche Zahl hat die Ziffernsumme 11. Vertauscht man Zehner- und Einerziffer, wird die Zahl um 27 kleiner.
Frage: Wie lautet die ursprüngliche Zahl?
Lösung und Begründung zu Aufgabe 4
Die Zehnerziffer heiße a, die Einerziffer b. Aus der Ziffernsumme folgt a + b = 11. Die Zahl selbst ist 10a + b; nach dem Vertauschen lautet sie 10b + a. Der Unterschied beträgt 27, also (10a + b) − (10b + a) = 27.
Zusammenfassen liefert 9(a − b) = 27 und damit a − b = 3. Addieren wir diese Gleichung zu a + b = 11, erhalten wir 2a = 14. Daher ist a = 7 und b = 4. Die gesuchte Zahl lautet 74.
Prüfe beide ursprünglichen Bedingungen: 7 + 4 = 11 und 74 − 47 = 27. Erst diese Rückprüfung bestätigt, dass weder die Richtung des Unterschieds noch der Stellenwert vertauscht wurde. Bei Ziffernaufgaben ist eine Ziffer kein beliebiger reeller Wert; hier liegen beide Ergebnisse im erlaubten Bereich.
Aufgabe 5: Welche Angaben werden wirklich benötigt?
Ein Archiv enthält 72 Bücher. 45 sind deutschsprachig. Insgesamt sind 18 Bücher ausgeliehen; genau 11 davon sind deutschsprachig. Ein Regal wiegt leer 26 kg.
Frage: Welche kleinste Auswahl der genannten Zahlen reicht aus, um die Zahl der deutschsprachigen Bücher zu bestimmen, die nicht ausgeliehen sind? Nenne die benötigten Angaben und das Ergebnis.
Lösung und Begründung zu Aufgabe 5
Benötigt werden 45 deutschsprachige Bücher insgesamt und 11 ausgeliehene deutschsprachige Bücher. Die gesuchte Zahl beträgt 45 − 11 = 34 Bücher.
Die Gesamtzahl aller Bücher, die Gesamtzahl aller ausgeliehenen Bücher und das Regalgewicht werden für diese Differenz nicht gebraucht. Entscheidend ist, dass sich beide verwendeten Zahlen auf dieselbe Sprachgruppe beziehen. Die 18 ausgeliehenen Bücher einfach von 45 abzuziehen, würde deutschsprachige und anderssprachige Ausleihen vermischen.
Keine der beiden benötigten Angaben allein genügt: Die gesamte Sprachgruppe bestimmt ihre Ausleihen nicht, und die Zahl ausgeliehener deutschsprachiger Bücher bestimmt die Größe der Sprachgruppe nicht. Zwei Angaben sind somit tatsächlich die kleinste ausreichende Auswahl aus den genannten Zahlen.
Deine Auswertung sollte den Denkweg sichtbar machen
Die fünf Aufgaben verlangen unterschiedliche Entscheidungen. Bei den Routen musst du Möglichkeiten konstruieren und eine Route über Grenzen ausschließen. Bei den Akkus gilt eine Vergleichsregel mit zwei Kriterien. Beim Wasser übersetzt du eine gegebene Modellregel in eine Gleichung. Die Ziffernaufgabe braucht die Stellenwerte, das Archiv die Auswahl einer passenden Teilmenge.
Wenn ein Ergebnis falsch war, wiederhole zunächst genau diesen entscheidenden Schritt. Ein Rechenfehler verlangt eine andere Korrektur als eine falsch gelesene Vergleichsregel. Nimm außerdem eine richtig gelöste Aufgabe heraus und erkläre sie ohne Musterlösung. Eine übertragbare Methode erkennst du daran, dass du begründen kannst, warum sie hier passt.
Einzelne Stärken kannst du beim quantitativen Problemlösen oder beim Lesen von Diagrammen und Tabellen vertiefen. Wenn du angeleitet an Aufgaben und Bearbeitungstechniken arbeiten möchtest, findest du unsere HSG-Vorbereitungsseminare.
Arbeite nach dieser Einheit an dem Denkschritt weiter, der noch unsicher ist. So bekommt die nächste Übung einen klaren Zweck.
Ihr Paul Nitsche
Gezielt für den HSG-Test vorbereiten
In unseren HSG-Vorbereitungsseminaren verbinden wir Aufgabentraining, Bearbeitungstechniken und Testsimulationen. Wir besprechen Lösungswege und Fragen, damit du perfekt auf den HSG Aufnahmtest vorbereitet bist.
